填充床潜热储热数值模型研究进展

doi:10.12096/j.2096-4528.pgt.19062

填充床潜热储热数值模型研究进展

高龙^,, 格根塔娜, 孙佰仲^,, 车德勇, 李少华

Advances in Numerical Simulation of Latent Heat Storage in Packed Beds

GAO Long^,, Ge-gen-ta-na , SUN Baizhong^,, CHE Deyong, LI Shaohua

通讯作者: 孙佰仲(1973),男,博士,教授,主要研究方向为热电联供技术、生物质气化技术、固体化石燃料燃烧技术,本文通信作者, sunbaizhong@126.com

收稿日期: 2019-04-23

基金资助:

吉林省科技发展计划项目. 172387GG010138026
吉林市科技发展计划项目. 201750235

Received: 2019-04-23

Fund supported:

ScienceandTechnologyDevelopmentPlanofJilinProvince. 172387GG010138026
Science and Technology Development Plan of Jilin City. 201750235

作者简介 About authors

高龙(1988),男,博士,讲师,研究方向为太阳能热利用与储热技术,复合相变材料储热技术,gaolong0607@163.com , E-mail：gaolong0607@163.com

摘要

填充床潜热储热技术广泛应用于太阳能热利用和供热通风与空气调节等领域。由于不同应用环境下的填充床潜热储热系统具有复杂的瞬态特性和较高的实验成本，在研究不同因素对储热系统性能的影响时，研究人员开发了相关数学模型，并采用不同数值计算方法进行分析。对常见的填充床储热过程数值模型进行分类，详细分析不同模型的特点与适用性；对比了模型的计算效率和误差；最后，总结了不同数值模型在潜热型填充床储热技术中的应用特点，可为同类模型的开发与应用提供依据。

关键词： 储能 ; 潜热储热 ; 填充床 ; 数值模型 ; 中低温

Abstract

The technology of latent heat storage in packed bed is widely used in solar energy utilization and heating ventilation air conditioning. Due to the complex transient characteristics and high experimental cost of the latent heat storage system of packed bed under different application environments, researchers developed relevant mathematical models and adopted different numerical calculation methods to analyze the effects of different factors on the system performance. In this paper, the common numerical models of heat storage process in packed bed were classified, and the characteristics and applicability of different models were analyzed in detail. Secondly, the computational efficiency and error of the model were compared. Finally, the application characteristics of different numerical models in latent heat packed bed heat storage technology were summarized, which provides a basis for the development and application of similar models.

Keywords： energy storage ; latent heat storage ; packed bed ; numerical model ; medium and low temperature

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本文引用格式

高龙, 格根塔娜, 孙佰仲, 车德勇, 李少华. 填充床潜热储热数值模型研究进展[J]. 发电技术, 2019, 40(4): 339-346 doi:10.12096/j.2096-4528.pgt.19062

GAO Long, Ge-gen-ta-na , SUN Baizhong, CHE Deyong, LI Shaohua. Advances in Numerical Simulation of Latent Heat Storage in Packed Beds[J]. Power Generation Technology, 2019, 40(4): 339-346 doi:10.12096/j.2096-4528.pgt.19062

0 引言

我国在《可再生能源发展“十三五”规划》中提出了“推动储能技术在可再生能源领域的示范应用，实现储能产业在市场规模、应用领域和核心技术等方面的突破”的发展要求^[1]。其中，储热技术是储能技术的重要发展方向之一^[2]，是太阳能、风能等可再生能源低成本、大规模应用的关键。热能储存(thermal energy storage，TES)按原理可分为显热储热、潜热储热和热化学储热^[3]。显热储热以其低廉的商业成本成为了传统太阳能热水、太阳能热发电、工业余热回收等系统的主要储热形式，但由于储热密度较低，在大规模应用中对设置环境、设备建造和维护提出了更高的要求^[4]。潜热储热主要应用相变材料(phase change material，PCM)作为储热介质，具有比显热储热更高的储热密度，在纺织、电子冷却、余热回收、食品储藏、生物医学、供热通风与空气调节以及太阳能热利用^[5-10]等领域应用广泛。

PCM在应用过程中也表现出一些不足，例如大多数PCM导热系数较低，影响了在实际应用过程中的蓄放热效率。为了解决该问题，学者们主要提出了2类方法：一是通过封装技术强化蓄热介质与传热介质间的对流换热，二是通过添加高导热材料提高复合材料的有效导热系数^[11]。目前，常见的PCM封装形式包括宏观封装、微观封装和多孔介质封装^[12]，其中宏观封装技术中以壳管式和填充床式研究最为广泛。Wei等^[13]对4种不同几何结构的封装形式进行了数值和实验研究，结果表明，球体、圆柱体、板式和壳管式的放热性能依次递减。Hawlader等^[14]对填充床潜热储热装置进行了实验和热性能分析，结果表明，球形封装PCM的蓄放热能力相对更高。

由于具有结构简单、单位体积接触面积大等优点，球形封装PCM的填充床潜热储热(packed bed latent thermal energy storage，PBLTES)系统具有更广泛的应用前景。但由于不同应用环境下的填充床潜热储热系统具有复杂的瞬态特性和较高的实验成本，在研究不同因素对系统性能的影响时，研究人员开发了相关数学模型并采用不同数值计算方法进行分析。本文对常见的填充床储热过程数学模型进行了总结、对比与分析。

1 填充床储热数值模型

1.1 模型分类

填充床储热的本质为传热流体(heat transfer fluid，HTF)与PCM封装体在储热装置内的固液传热行为。为降低计算成本，研究人员通常在合理的假设条件下，采用简化的数值模型结合经验关联式进行瞬态热性能分析。填充床储热过程的数值模型主要分为单相模型(平衡模型)和两相模型(非平衡模型)。两相模型主要包括舒曼模型、同心扩散模型和连续固相模型^[15]，填充床储热数值模型分类如图1所示。

图1

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图1 填充床储热数值模型分类

Fig. 1 Classification of stored heat storage numerical models

1.2 单相模型

单相模型假设HTF和PCM在相同时刻处于热平衡状态，即具有相同的瞬时温度。因此，仅通过一个能量守恒方程即可描述整体换热过程。具体形式^[15]为

(1)$\begin{array}{l}\varepsilon {C_{{\rm{p}}, {\rm{f}}}}{\rho _{\rm{f}}}\frac{{\partial T}}{{\partial t}} + (1 - \varepsilon ){\rho _{{\rm{PCM}}}}\frac{{\partial H}}{{\partial t}}{\rm{ + }}{C_{{\rm{p}}, {\rm{f}}}}{\rho _{\rm{f}}}u\frac{{\partial T}}{{\partial x}} = \\{\rm{ }}{k_{{\rm{eff}}, x}}\frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {x^2}}} + {k_{{\rm{eff}}, r}}(\frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {r^2}}} + \frac{{\partial T}}{{2\partial r}})\end{array}$

式中：C_{p, f}为比热容；T为温度；t时间；ε为孔隙率；ρ_f、ρ_PCM为密度；u为速度；k_{eff, x}、k_{eff, r}为导热系数；x为蓄热长度；r为半径；H为相变焓。

式(1)左侧第1项和第2项分别为HTF和PCM能量变化的时间项，第3项为HTF对流项；右侧2项分别为轴向和径向的热传导。根据假设，该模型更适用于分析具有较高导热系数的储热介质。而中低温PCM导热系数普遍较低，绝大多数石蜡、脂肪酸和水合盐的导热系数^[16]均小于1 W/(m·K)。因此，该模型一般不适用于中低温填充床潜热储热系统。Nagano等^[17]采用该模型研究了未进行封装的PCM颗粒与空气直接换热的系统，如图2所示。由于PCM颗粒尺寸很小，该模型的准确度较高。

图2

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图2 PCM颗粒与空气直接换热实验系统

Fig. 2 PCM particle and air direct heat exchange experimental system

1.3 两相模型

1.3.1 舒曼模型

舒曼模型^[18]主要用于分析填充床的传热特性。该模型假设为一维传热，忽略了HTF和PCM的径向和轴向导热。分别建立HTF和PCM的能量方程，如式(2)和(3)所示。

(2)$\begin{array}{l}\varepsilon {C_{{\rm{p}}, {\rm{f}}}}{\rho _{\rm{f}}}(\frac{{\partial {T_{\rm{f}}}}}{{\partial t}} + u\frac{{\partial {T_{\rm{f}}}}}{{\partial x}}) = {h_{{\rm{PCM}} - {\rm{HTF}}}}({T_{{\rm{PCM}}}} - {T_{\rm{f}}}) - \\{\rm{ }}{U_{\rm{L}}}({T_{\rm{f}}} - {T_{{\rm{ENV}}}})\end{array}$

(3)$(1 - \varepsilon ){\rho _{{\rm{PCM}}}}\frac{{\partial H}}{{\partial t}} = {h_{{\rm{PCM - HTF}}}}({T_{\rm{f}}} - {T_{{\rm{PCM}}}})$

式中：T_f为流体温度；T_ENV为环境温度；T_PCM为相变材料温度；h_PCM-HTF为对流换热系数；U为热透射率。

式(2)右侧2项分别为HTF与PCM的对流换热项和热损失项，在保温良好的条件下热损失项一般可以忽略。该模型对PCM采用集总参数法，并假设对流换热系数与时间和空间无关，可以有效提高计算效率。然而，舒曼模型中没有考虑PCM内部的热传导作用，因此其局限性在于它无法描述PCM内部的传热过程，只考虑对流驱动的传热过程。如前文所述，大多数PCM具有低导热的特性，使得PCM导热热阻在蓄放热的传热过程中起重要作用。因此，部分研究者通过在对流传热项中加入修正项来分析PCM自然对流热阻对传热过程的影响。

Felix等^[19-20]利用舒曼模型研究了太阳能热水系统的PBLTES系统热性能。其数值模型在能量方程中定义了总传热系数U₀，其中包含对流传热热阻、封装球壳导热热阻以及PCM相变传热热阻。该系数定义为

(4)${U_0} = \frac{1}{A}\frac{1}{{{R_{{\rm{ext}}}} + {R_{\rm{c}}} + {R_{{\rm{in}}}}{\rm{(}}t{\rm{)}}}}$

式中：R_ext是对流热阻；R_c是封装球壳的导热热阻；R_in(t)是封装球内PCM的相变传热热阻，该热阻随PCM固液界面的变化而变化，受熔融层的导热和自然对流影响很大。即使该模型没有考虑封装球内的温度梯度，也会通过总传热系数随时间的变化来反映封装球内部的传热过程。

Tumilowicz等^[21]用类似的舒曼修正模型研究了填充床斜温层。利用等效对流传热的方法，并采用特征值的方法来求解方程。结果证明，特征值方法可以高效计算预测填充床斜温层的运行状态。

杨晓西等人^[22-24]模拟分析了熔融盐高温填充床蓄热罐显热蓄热系统传热特性，并分析了各运行参数对系统的影响；结合相变蓄热特性，开发基于舒曼模型的填充床相变蓄热系统模型，研究了相变蓄热系统传热与流动特性及各影响因素对其蓄热性能的影响。

1.3.2 同心扩散模型

该模型由Ismail和Henríquez^[25]开发，模型中将填充床储热罐沿轴向分成许多微元层，HTF沿轴向递进流动传热。假设流体的温度是均匀的，并且等于所在层的平均温度。当HTF与PCM封装球存在温差时，考虑了球壳外表面对流传热热阻和球壳厚度的导热热阻，模型中假定球内传热过程为纯热传导。使用有限差分法和移动网格技术进行求解，并使用实验数据验证了模型的有效性。研究了HTF入口温度、质量流量和封装球导热率对蓄放热时间的影响。

该模型将填充床视为由独立球体组成的各向同性多孔介质，这种方法可以计算球内的温度分布。该模型的特点在于：开始阶段HTF与PCM发生显热交换，球体外表面与传热流体进行对流换热，热量通过球壳以导热的形式由外表面传递至内表面，直至球壳内表面达到相变温度，与球内表面接触的PCM形成第一层相变层，随着传热的传入，球内相变层随时间逐渐演变，如图3所示。

10.12096/j.2096-4528.pgt.19062.F003

图3 球形PCM能量平衡示意图 Spherical PCM energy balance diagram

Fig. 3

能量守恒方程中包括HTF和PCM中的轴向导热，如式(5)—(7)所示。

(5)$\begin{array}{l}\varepsilon {C_{{\rm{p}}, {\rm{f}}}}{\rho _{\rm{f}}}(\frac{{\partial {T_{\rm{f}}}}}{{\partial t}} + u\frac{{\partial {T_{\rm{f}}}}}{{\partial x}}) = \varepsilon {k_{\rm{f}}}\frac{{{\partial ^2}{T_{\rm{f}}}}}{{\partial {x^2}}} + {h_{{\rm{PCM}} - {\rm{HTF}}}} \cdot \\ {\rm{ }}({T_{{\rm{PCM}}}} - {T_{\rm{f}}}) - {U_{\rm{L}}}({T_{\rm{f}}} - {T_{{\rm{ENV}}}})\end{array}$

(6)$\begin{array}{l}(1 - \varepsilon ){\rho _{{\rm{PCM}}}}\frac{{\partial H}}{{\partial t}} = (1 - \varepsilon ){k_{{\rm{PCM}}}}\frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {x^2}}} + \\{\rm{ }}{h_{{\rm{PCM}} - {\rm{HTF}}}}({T_{\rm{f}}} - {T_{{\rm{PCM}}}})\end{array}$

(7)${\rho _{{\rm{PCM}}}}\frac{{\partial H}}{{\partial t}} = \frac{1}{{{r^2}}} \cdot \frac{\partial }{{\partial r}}({k_{{\rm{PCM}}}}{r^2}\frac{{\partial T}}{{\partial r}})$

式中：k_f为流体导热系数；k_PCM为相变材料导热系数。

式(5)为HTF的能量守恒方程，右侧第1项为轴向导热项，第2项为对流传热项，第3项为热损失项。式(6)和(7)分别为PCM在边界处和球内部的能量守恒方程。同心扩散模型中流体温度均匀，同层球体的传热规律相同。

Wu等^[26]使用修正的二维同心扩散模型研究了封装高温相变材料的填充床蓄热系统，动量方程中引入了填充层孔隙区惯性系数和渗透率。模型中使用有效导热系数考虑球内液相PCM的自然对流，没有考虑环境损失，且认为储热介质的物性参数为定值。分析了填充高温熔盐PCM蓄放热过程的动态性能。研究结果对实际约束条件下高温PBLTES系统的最佳运行和设计参数具有借鉴意义。

Bédécarrats等^[27]提出了另一种同心扩散模型。该模型既考虑了周围流体的传热，又考虑了封装PCM内部的过冷现象。

Galione等^[28]利用同心扩散模型，与HTF动量方程相结合，研究了聚光太阳能电厂中相变储热装置“斜温层”热性能，利用Pacheco等的实验数据对模型进行了验证，并得出结论：如果PCM层位于斜温层顶部和底部，则可充当“缓冲层”，使得出口温度接近熔化温度。此外，他们还证明了使用多级PCM可抑制斜温层的退化，提高系统总储热效率。

Yang等^29]建立同心扩散模型，对多级相变材料(T_m1=60~62℃，T_m2=50~52℃，T_m3=42~44 ℃)的太阳能填充床储热系统进行数值研究。模拟了具有不同熔点PCM的组合式太阳能填充床储热系统，如图4所示。该系统以南京某典型夏季的气象条件为环境参数，模拟了太阳能集热器的性能。通过蓄放热效率和㶲分析表明，与单一PCM填充床系统相比，多级PCM填充床系统多级PCM熔化更快，蓄热时间更短，具有更高的热效率和㶲效率。

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图4 组合式太阳能填充床储热系统 Combined solar packed bed heat storage system

Fig. 4

此外，Bindra等^[30]基于同心扩散模型和㶲分析模型，研究了填料床在循环储存和回收过程中的动态热响应。该模型中考虑了环境损失、PCM球内的温度梯度以及HTF和PCM的轴向热传导。研究结果表明，在较高的储热温度条件下，为了获得更高的㶲回收率，需要系统具有较低的潜热或较低的能量密度。然而，即使在高能量密度的显热蓄热系统中，也可以获得较高的㶲回收率，该结论对于新能源电站大规模应用储热技术具有重要意义。

Panesi^[31]设计了应用于HVAC系统的填充床蓄冷装置。该系统球形封装水与成核剂(相变温度0 ℃)为PCM，乙醇水溶液为HTF，采用有限差分法和移动网格技术进行计算。结果表明，HTF质量流量和入口温度对蓄冷时间的影响最大。

Cheng等^[32]设计了用于太阳能制冷系统中的填充床蓄冷装置。该装置采用了复合相变材料，通过不同条件下的热性能分析发现，随着HTF入口温度由7 ℃升高至12 ℃，平均储热速率、最大储热容量和㶲效率分别下降了73.9%、44.7%和10.4%。进一步研究了串联填充床储冷装置，得出了3~5级为推荐的CTES串联级数。

赵炳晨^[33]基于同心扩散模型、焓方法及有效导热系数法建立了熔盐单罐填充床蓄热系统的一维瞬态传热数学模型，分析了蓄放热循环过程中系统的性能。量化了不完全蓄热效应对蓄热性能的影响，采用控制变量法研究了关键设计参数对4种填充床蓄热系统蓄热性能的影响。

1.3.3 连续固相模型

连续固相模型将储热球看作具有孔隙结构的连续介质，不单独对球体内部的热梯度进行建模。该模型在能量方程中增加了轴向(一维模型)和径向(二维模型)上的热传导。由于增加了径向方向上的热传导，大幅度增加了模型的计算成本，但是连续固相模型是唯一能够分析径向方向上热梯度对整个储热过程影响的模型，在因低质量流量而导致具有较大热损失的系统或入口流量分布不均匀的系统中显得尤为重要。控制方程如式(8)和(9)所示。

(8)$\begin{array}{l}\varepsilon {C_{{\rm{p}}, {\rm{f}}}}{\rho _{\rm{f}}}(\frac{{\partial {T_{\rm{f}}}}}{{\partial t}} + u\frac{{\partial {T_{\rm{f}}}}}{{\partial x}}) = {k_{{\rm{f, x}}}}\frac{{{\partial ^2}{T_{\rm{f}}}}}{{\partial {x^2}}}{\rm{ + }}{k_{{\rm{f, r}}}}(\frac{{{\partial ^2}{T_{\rm{f}}}}}{{\partial {r^2}}} + \frac{1}{r}\frac{{\partial {T_{\rm{f}}}}}{{\partial r}}) + \\\;\;\;\;\;\;\;{h_{{\rm{PCM}} - {\rm{HTF}}}}({T_{{\rm{PCM}}}} - {T_{\rm{f}}}) - {U_L}({T_{\rm{f}}} - {T_{{\rm{ENV}}}})\end{array}$

(9)$\begin{array}{l}(1 - \varepsilon ){\rho _{{\rm{PCM}}}}\frac{{\partial H}}{{\partial t}} = (1 - \varepsilon ){k_{{\rm{PCM}}, {\rm{x}}}}\frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {x^2}}}{\rm{ + }}\\{k_{{\rm{PCM, r}}}}(\frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {r^2}}} + \frac{1}{r}\frac{{\partial T}}{{\partial r}}) + {h_{{\rm{PCM}} - {\rm{HTF}}}}({T_{\rm{f}}} - {T_{{\rm{PCM}}}})\end{array}$

式中：k_{f, x}为流体轴向导热系数；k_{f, r}为流体径向导热系数；k_{PCM, x}为相变材料轴向导热系数；k_{PCM, r}为相变材料径向导热系数。

Cheralathan等^[34]对基于PCM的蓄冷装置建立了一维连续固相模型并对其进行了实验验证。利用该模型对蓄冷系统性能进行参数分析，研究了空隙率、斯坦顿数、斯蒂芬数和贝克莱数对其性能影响。结果表明，该模型可以有效计算蓄冷系统传热特性。

Benmansour等^[35]建立了以空气作为HTF，石蜡作为PCM的二维连续固相模型，并利用有限差分法对控制方程进行求解。通过实验证明了该模型在不同普朗特数下均适用，并可以应用于雷诺数范围较大的蓄放热过程中。

Arkar等^[36]使用二维连续固相模型研究基于2个填充床潜热储热装置的机械通风系统的性能，并通过实验进行验证。建立了基于储热量、空气流量和PCM物性的温度响应经验方程，并用于TRNSYS模拟中。

Nallusamy等^[37]设计了以石蜡和水作为PCM和HTF的低温混合型填充床储热装置，研究表明该装置在间歇性需求的条件下具有更好的放热性能。建立了基于多孔介质方法的一维数学模型，通过数值计算结果得出入口流量比孔隙率对储热性能的影响更大。

Hu等^[38]设计了一个名为AquaTube的海水淡化实验装置。在假设局部热非平衡的条件下，建立了连续固相模型对系统进行优化分析。通过实验数据对模型进行验证，并用于进一步的参数分析。研究了不同封装材料、PCM热物性、封装尺寸等因素对系统性能的影响。

Aldoss和Rahman^[39]开发了不同的连续固相模型，用于比较单级PCM填充床储热系统和多级PCM填充床储热系统的性能。结果表明，多级PCM设计具有更好的蓄放热性能。然而，填充床内添加3级以上的PCM，系统性能并没有显著提高。

Raul等^[40]设计了中温填充床储热装置，以商业级有机材料A164(相变温度168.7 ℃)为PCM，Hytherm 600为HTF，分析了球径和孔隙率对蓄放热性能的影响。王艺斐^[41]研究了赤藻糖醇、三元熔盐等物质的物性和蓄放热性能。

1.4 其他模型

夏莉^[42]建立了研究潜热储能床内部流动与换热的有效填充床数学模型，该模型具有很强的通用性，可以反映出储能床内部详细的流动信息和相变单元内部详细的温度梯度，如图5所示。该模型可以描述出不同填充床中相变小球的排列情况。通过数值模拟研究了储能床中相变小球的堆积方式，以及PCM的封装方式对潜热储能床性能的影响，结果显示：在放热过程中，导热系数较高的不锈钢封装材料可有效减少放热时间且封装材料厚度对系统性能没有显著影响，随机排列布置性能高于规则排列。

图5

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图5 有效填充床模型转化示意图

Fig. 5 Schematic diagram of effective packed bed model conversion

Amin等^[43]利用e-NTU方法，建立了一种适用于相变传热预测的半解析二维模型，应用于球形PCM填充床蓄热系统。为了考虑相变过程的变化，采用等温平行路径传热的方法确定热阻，并对模型进行了实验验证。Aziz等^[44]提出了利用e-NTU模型对PCM封装球的强化传热过程进行描述。结果表明，系统的热阻是换热效率的重要因素，利用该方法可用于对球形封装的填充床蓄热系统进行优化设计。

2 模型对比

Ismail等^[45]的研究中针对同一案例对比了4个模型的计算性能，该工作使用相同的计算机记录了4种情况下的CPU计算时间，如图6所示。结果表明，在一维模型的情况下，计算时间最长的是同心扩散模型，时间最短的是单相模型。使用二维模型计算会导致计算时间大幅度增加，在单相模型和连续固相模型2种情况下，时长增加了约20倍。

图6

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图6 CPU计算时间对比

Fig. 6 Computational cost of each model

Karthikeyan等^[46]将3种模型的数值结果与前期实验的数据进行了对比。其中，分别包括舒曼模型、连续固相模型(考虑了HTF和PCM沿轴向的热传导，但并未考虑径向传导效应)和同心扩散模型。结果表明，同心扩散模型能够更准确地预测系统性能，因为PCM的低导热率会严重影响球体内部的导热。

此外，Galione等^[47]将同心扩散模型与二维CFD模型进行了比较。Oró等^[48]比较了基于Brinkmann方程的连续模型和同心扩散模型，Brinkman方程从Darcy模型的转变，可以模拟流动内部的重力，但不能考虑PCM球体内部的温度梯度，与实验数据的比较验证了模型的有效性。

3 结论

目前填充床蓄热装置在不同的应用领域均具有广泛的应用前景。在不同的应用环境中，填充床储热装置的热性能及其影响因素效果也不尽相同。为提高模拟和预测精度，开发了不同类别的数值计算模型，对潜热型填充床蓄热系统的数值计算方法进行了总结与分析。

1）单相模型虽然计算成本低，但是应用条件受限，针对高导热、高比热容以及颗粒较小的PCM具有较好的计算效果。

2）两相模型中舒曼模型发展最早，但没能考虑PCM导热作用对储热特性的影响，然而，可以通过对原始模型的修正来提高计算精度。

3）同心扩散模型是唯一可以描述PCM封装球内相变传热过程的模型，但是具有较高的计算成本。

4）连续固相模型是唯一能够分析径向方向上热梯度对整个储热过程影响的模型，可用于深入研究不同孔隙度、不同位置流体速度等关键因素的影响。

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文中引用次数倒序

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